> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://maiconspects.gitbook.io/information/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://maiconspects.gitbook.io/information/matematicheskii-analiz/kompleksnye-chisla.md).

# Комплексные числа

Автор: Павел Елисеев М3О-121Б-23

{% hint style="info" %}
Комплексные числа - это самое большое числовое множество!

<img src="https://2374490167-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2Fs2M8Ft8rCku0o6IgMuCl%2Fuploads%2FtCE887ucTdgygXceiaUo%2F%D0%B8%D0%B7%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_2023-09-04_212945602.png?alt=media&amp;token=8d910810-1df4-4574-8d10-e4692cf07032" alt="" data-size="original">
{% endhint %}

## Вид комплексного числа

> $$z=a + bi$$, где $$i$$ - [мнимая единица](#mnimaya-edinica)

{% hint style="info" %}
Действительная часть:

$$a = Re(z)$$

Мнимая часть:

$$b=Im(z)$$
{% endhint %}

{% hint style="info" %}
Если $$a = 0$$, то $$z$$ называется **чисто мнимым числом**

Например: $$4i$$, $$8i$$,$$-1i$$
{% endhint %}

{% hint style="info" %}
Если $$b=0$$, то $$z$$ является **вещественным числом**

Например: 2, 14, -6
{% endhint %}

### Мнимая единица

> $$i$$ - комплексное число, квадрат которого равен −1

{% hint style="warning" %}
$$i^2=-1$$
{% endhint %}

## Комплексная арифметика

### Сравнение

#### Равно / не равно

{% hint style="info" %}
$$z\_1=a\_1+b\_1i$$

$$z\_2=a\_2+b\_2i$$

Если $$a\_1 = a\_2$$ и $$b\_1 = b\_2$$, то $$z\_1 = z\_2$$
{% endhint %}

#### Больше / меньше

{% hint style="danger" %}
Комплексные числа нельзя сравнивать на больше/меньше
{% endhint %}

### Сложение и вычитание

{% hint style="info" %}
$$z\_1\pm z\_2=(a\_1\pm a\_1)+(b\_1\pm b\_1)i$$
{% endhint %}

### Умножение

{% hint style="info" %}
$$z\_1 \* z\_2 = (a\_1 + b\_1i)(a\_2+b\_2i)$$
{% endhint %}

### Деление

> Деление производится путём умножения на сопряжённое выражение

#### Сопряжённые числа

{% hint style="info" %}
$$z\_1=a+bi$$, сопряжённым ему будет $$z\_2=a-bi$$, короче знак просто меняется там и всё :)
{% endhint %}

#### Как производить деление

Умножьте знаменатель и числитель на сопряжённое выражение, чтобы свернуть знаменатель и избавиться от $$i$$

{% hint style="info" %}
$$\frac{z\_1}{z\_2} = \frac{a\_1+b\_1i}{a\_2+b\_2i} =\frac{(a\_1+b\_1i)(a\_2-b\_2i)}{(a\_2+b\_2i)(a\_2-b\_2i)}$$
{% endhint %}

Пример:

$$\frac{7-4i}{3+2i}=\frac{(7-4i)(3-2i)}{(3+2i)(3-2i)}=\frac{13-26i}{13}=1-2i$$

### Возведение в степень

{% hint style="danger" %}
Что-то сложное... (пока не разобрался)
{% endhint %}

{% hint style="success" %}
Возведение в квадрат:

$$z^2=(a+bi)(a+bi)=a^2+2(a\*b)i-b^2$$
{% endhint %}

## Геометрическое представление

<figure><img src="https://2374490167-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2Fs2M8Ft8rCku0o6IgMuCl%2Fuploads%2FwFLSyGWUvcJmzbTgVEK5%2Fimage.png?alt=media&amp;token=c46d6bd3-4049-4f1b-b67e-cfa68181ee1c" alt=""><figcaption><p>Комплексное число на прямоугольной системе координат</p></figcaption></figure>

<figure><img src="https://2374490167-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2Fs2M8Ft8rCku0o6IgMuCl%2Fuploads%2Flk6eNaUeDQj7IhgdyN5c%2Fimage.png?alt=media&amp;token=442d0ab6-6dc3-490c-a507-3a3f69bc45af" alt=""><figcaption><p>Комплексное число на полярной системе координат</p></figcaption></figure>

### Модуль

{% hint style="info" %}
$$z=x+yi$$ - комплексное число

$$|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$$ - модуль числа
{% endhint %}

### Аргумент

{% hint style="info" %}
Угол $$\phi$$ между вектором $$OZ$$ и положительной действительной осью
{% endhint %}

## Формы комплексного числа

### Алгебраическая форма

{% hint style="info" %}
$$z = a + bi$$
{% endhint %}

### Тригонометрическая форма

{% hint style="info" %}
$$z=|z|(cos(\phi) + isin(\phi))$$
{% endhint %}

### Показательная форма

{% hint style="info" %}
$$e^{i\phi}=cos(\phi)+isin(\phi)$$
{% endhint %}

## Формула Муавра

### Формула возведения комплексного числа в степень $$n$$

{% hint style="info" %}
$$z^n=\[cos(\phi)+i*sin(\phi)]^n=|z|(cos(n*\phi)+i*sin(n*\phi))$$
{% endhint %}

Формула нахождения  корней $$n$$-ной степени комплексного числа

{% hint style="info" %}
$$\sqrt\[n]{z}=\sqrt\[n]{\[|z|(cos(\phi+2\pi k)+i\*sin(\phi+2\pi k))]}=\sqrt\[n]{|z|}(cos($$
{% endhint %}

\-- [Формы представления комплексного числа](https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE#%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%8B_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0)

\-- [Формула Муавра и извлечение корней](https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE#%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%9C%D1%83%D0%B0%D0%B2%D1%80%D0%B0_%D0%B8_%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B5%D0%B9)