ℹ️Комплексные числа

Автор: Павел Елисеев М3О-121Б-23

Комплексные числа - это самое большое числовое множество!

Вид комплексного числа

$z=a + bi$, где $i$ - мнимая единица

Действительная часть:

$a = Re(z)$

Мнимая часть:

$b=Im(z)$

Если $a = 0$, то $z$ называется чисто мнимым числом

Например: $4i$, $8i$,$-1i$

Если $b=0$, то $z$ является вещественным числом

Например: 2, 14, -6

Мнимая единица

$i$ - комплексное число, квадрат которого равен −1

$i^2=-1$

Комплексная арифметика

Сравнение

Равно / не равно

$z_1=a_1+b_1i$

$z_2=a_2+b_2i$

Если $a_1 = a_2$ и $b_1 = b_2$, то $z_1 = z_2$

Больше / меньше

Комплексные числа нельзя сравнивать на больше/меньше

Сложение и вычитание

$z_1\pm z_2=(a_1\pm a_1)+(b_1\pm b_1)i$

Умножение

$z_1 * z_2 = (a_1 + b_1i)(a_2+b_2i)$

Деление

Деление производится путём умножения на сопряжённое выражение

Сопряжённые числа

$z_1=a+bi$, сопряжённым ему будет $z_2=a-bi$, короче знак просто меняется там и всё :)

Как производить деление

Умножьте знаменатель и числитель на сопряжённое выражение, чтобы свернуть знаменатель и избавиться от $i$

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{a_1+b_1i}{a_2+b_2i} =\frac{(a_1+b_1i)(a_2-b_2i)}{(a_2+b_2i)(a_2-b_2i)}$

Пример:

$\frac{7-4i}{3+2i}=\frac{(7-4i)(3-2i)}{(3+2i)(3-2i)}=\frac{13-26i}{13}=1-2i$

Возведение в степень

Что-то сложное... (пока не разобрался)

Возведение в квадрат:

$z^2=(a+bi)(a+bi)=a^2+2(a*b)i-b^2$

Геометрическое представление

Комплексное число на прямоугольной системе координат

Комплексное число на полярной системе координат

Модуль

$z=x+yi$ - комплексное число

$|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ - модуль числа

Аргумент

Угол $\phi$ между вектором $OZ$ и положительной действительной осью

Формы комплексного числа

Алгебраическая форма

$z = a + bi$

Тригонометрическая форма

$z=|z|(cos(\phi) + isin(\phi))$

Показательная форма

$e^{i\phi}=cos(\phi)+isin(\phi)$

Формула Муавра

Формула возведения комплексного числа в степень $n$

$z^n=[cos(\phi)+i*sin(\phi)]^n=|z|(cos(n*\phi)+i*sin(n*\phi))$

Формула нахождения корней $n$-ной степени комплексного числа

$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{[|z|(cos(\phi+2\pi k)+i*sin(\phi+2\pi k))]}=\sqrt[n]{|z|}(cos($

-- Формы представления комплексного числа

-- Формула Муавра и извлечение корней