📊Множества

Автор: Павел Елисеев М3О-121Б-23

Определения

A, B, C... - множества

a, b, c - элементы множеств

Определённые числовые множества

Принадлежность множеству

$x\in A$, x принадлежит A

$x\notin A$, x не принадлежит A

Способы задания множеств

Перечисление

$A=${ $a_1, a_2,...,a_n$ }

A состоит из элементов, обозначенных $a_n$

Условное

$A=$ { $x$ | $P(x)$ }

A состоит из элементов x, которые удовлетворяют условию P(x)

Пустое

$A=\varnothing$, любое $x \notin A$

В A отсутствуют элементы

Иллюстрации множеств

Операции над множествами

Подмножества

$A\leq B$, A является подмножеством B

если $x \in A$, то $x\in B$

Идентичность

$A=B$, A идентично B

если $A\leq B$ и $B\leq A$

Объединение

$A\cup B=$ { $x$ | $x\in A$ или $x\in B$ }

Пересечение

$A\cap B=$ { $x$ | $x\in A$ и $x\in B$ }

Относительное дополнение (разность)

$A\diagdown B=$ { $x$ | $x\in A$ и $x\notin B$ }

или

$A-B=$ { $x$ | $x\in A$ и $x\notin B$ }

Абсолютное дополнение

$C(A)=$ { $x$ | $x\in M$ и $x\notin A$ }

Симметричная разность

$A\oplus B= (A\diagdown B) \cup (B\diagdown A)$

или

$A\Delta B= (A\diagdown B) \cup (B\diagdown A)$

Принцип математической индукции (гуглить)я

Для A <= N выполненны 2 условия

1) 1 in A

2) если n in A то n + 1 in A

Тогда A = N

Аксиома множества N

если any A != empty, то существует минимальное натуральное число n* in A, то есть для any n in A n >= n* = min A

Тогда от противного, пусть существует A = N, но N\A != empty, тогда в силу аксиомы ээ существует ээ минимальный элемент min A

Чтобы доказать что утверждения A(n) выполнены для любого натурального n достаточно показать, что

1) A(1) - выполнено для первого элемента

2) из справедливости A(k) вытекает выполнение A(k+1)