> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://maiconspects.gitbook.io/information/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://maiconspects.gitbook.io/information/matematicheskii-analiz/mnozhestva.md).

# Множества

Автор: Павел Елисеев М3О-121Б-23

## Определения

{% hint style="info" %}
A, B, C... - множества
{% endhint %}

{% hint style="info" %}
a, b, c - элементы множеств
{% endhint %}

## Определённые числовые множества

![](https://2374490167-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2Fs2M8Ft8rCku0o6IgMuCl%2Fuploads%2FtCE887ucTdgygXceiaUo%2F%D0%B8%D0%B7%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_2023-09-04_212945602.png?alt=media\&token=8d910810-1df4-4574-8d10-e4692cf07032)

## Принадлежность множеству

{% hint style="success" %}
$$x\in A$$, x **принадлежит** A
{% endhint %}

{% hint style="danger" %}
$$x\notin A$$, x **не принадлежит** A
{% endhint %}

## Способы задания множеств

{% tabs %}
{% tab title="Перечисление" %}
{% hint style="info" %}
$$A=$${ $$a\_1, a\_2,...,a\_n$$ }
{% endhint %}

A состоит из элементов, обозначенных $$a\_n$$
{% endtab %}

{% tab title="Условное" %}
{% hint style="info" %}
$$A=$$ { $$x$$ | $$P(x)$$ }
{% endhint %}

A состоит из элементов x, которые удовлетворяют условию P(x)
{% endtab %}

{% tab title="Пустое" %}
{% hint style="info" %}
$$A=\varnothing$$, любое $$x \notin A$$
{% endhint %}

В A отсутствуют элементы
{% endtab %}
{% endtabs %}

## Иллюстрации множеств

## Операции над множествами

### Подмножества

{% hint style="info" %}
$$A\leq B$$, A является подмножеством B

если $$x \in A$$, то $$x\in B$$
{% endhint %}

### Идентичность

{% hint style="info" %}
$$A=B$$, A идентично B

если $$A\leq B$$ и $$B\leq A$$
{% endhint %}

### Объединение

{% hint style="info" %}
$$A\cup B=$$ { $$x$$ | $$x\in A$$ или $$x\in B$$ }
{% endhint %}

### Пересечение

{% hint style="info" %}
$$A\cap B=$$ { $$x$$ | $$x\in A$$ и $$x\in B$$ }
{% endhint %}

### Относительное дополнение (разность)

{% hint style="info" %}
$$A\diagdown B=$$ { $$x$$ | $$x\in A$$ и $$x\notin B$$ }

                     или

$$A-B=$$ { $$x$$ | $$x\in A$$ и $$x\notin B$$ }
{% endhint %}

### Абсолютное дополнение

{% hint style="info" %}
$$C(A)=$$ { $$x$$ | $$x\in M$$ и $$x\notin A$$ }
{% endhint %}

### Симметричная разность

{% hint style="info" %}
$$A\oplus B= (A\diagdown B) \cup (B\diagdown A)$$

                     или

$$A\Delta B= (A\diagdown B) \cup (B\diagdown A)$$
{% endhint %}

## Принцип математической индукции (гуглить)я

{% hint style="info" %}
Для A <= N выполненны 2 условия

1\) 1 in A

2\) если n in A то n + 1 in A

Тогда A = N
{% endhint %}

Аксиома множества N

если any A != empty, то существует минимальное натуральное число n\* in A, то есть для any n in A n >= n\* = min A

Тогда от противного, пусть существует A = N, но N\A != empty, тогда в силу аксиомы ээ существует ээ минимальный элемент min A

Чтобы доказать что утверждения A(n) выполнены для любого натурального n достаточно показать, что

1\) A(1) - выполнено для первого элемента

2\) из справедливости A(k) вытекает выполнение A(k+1)